MUHAMMAD REZZA

Limit Euler dan Limit Trigonometri

Barisan bilangan dapat dianggap sebagai fungsi dengan domain bilangan asli. Misalkan diberikan fungsi

f (n) = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

dengan

n

bilangan asli. Rumus fungsi tersebut dapat dikembangkan dengan menerapkan Ekspansi Newton, yaitu

\begin{matrix} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} & = C_{0}^{n} + C_{1}^{n} (\frac{1}{n}) + C_{2}^{n} {(\frac{2}{n})}^{2} + C_{3}^{n} {(\frac{3}{n})}^{3} + \dots = 1 + n (\frac{1}{n}) + \frac{n (n - 1)}{2! \cdot n^{2}} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3! \cdot n^{3}} + \dots \end{matrix}

Untuk

n \to \infty

, ditulis

\begin{matrix} lim n \to \infty {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots = 2 + 0, 5 + 0, 166 \dots + 0, 041666 \dots + \dots = 2, 7172818 \dots \end{matrix}

Bilangan irasional

2, 7172818 \dots

selanjutnya dikenal sebagai bilangan euler dan dinotasikan dengan huruf

e

. Bilangan ini merupakan konstanta penting dalam bidang kalkulus. Kesimpulan:

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e

\begin{matrix} lim n \to \infty {(1 - \frac{1}{n})}^{n} = lim n \to \infty {[{(1 + \frac{1}{(- n)})}^{- n}]}^{- 1} = e^{- 1} lim n \to \infty (1 + n)^{\frac{1}{n}} = e lim n \to \infty (1 - n)^{\frac{1}{n}} = e^{- 1} \end{matrix}

Teorema berikut sangat membantu dalam menyelesaikan persoalan mengenai penentuan nilai limit euler.

Apabila

lim_{x \to c} f (x) = 0

dan

lim_{x \to c} g (x) = \pm \infty

, maka

lim_{x \to c} (1 + f (x))^{g (x)} = e^{lim_{x \to c} f (x) g (x)}

Tentukan nilai dari

lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{2 x})}^{5 x}

Penyelesaian

Perhatikan bahwa

lim x \to \infty {(1 + \frac{1}{2 x})}^{5 x} = lim x \to \infty {⎛ ⎝ {(1 + \frac{1}{2 x})}^{2 x} ⎞ ⎠}^{\frac{5}{2}}

Karena

x \to \infty

, maka

2 x \to \infty

, sehingga dapat ditulis

{(lim_{2 x \to \infty} {(1 + \frac{1}{2 x})}^{2 x})}^{\frac{5}{2}} = e^{\frac{5}{2}}

Jadi, nilai dari

lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{2 x})}^{5 x} = e^{\frac{5}{2}} = e^{2} \sqrt{e}