Perkalian matriks elementer

PERKALIAN MATRIKS ELEMENTER

Matrik elementer adalah matrik yang diperoleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matrik identitas. Setiap matrik elementer mempunyai invers, dan setiap matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalen baris terhadap matrik identitas I.

Matrik elementer E diperoleh dari transformasi matrik identitas dimana pada kolom ke-I diganti dengan normalitas vektor kolom :

Contoh soal

Hitunglah Invers matriks di bawah ini :

untuk n= 3

Jawab :

Menghitung E1 :

Menghitung E2 :

Menghitung E3 dan Invers Matriks :

0 Comments

Invers metode adjoint dan operasi elementer baris

Adjoin

Adjoin diperoleh dari transpose suatu matriks.

Caranya mudah, yaitu… diagonal utama sebagai sumbu putar.

Putar berlawanan arah jarum jam dan… didapatlah Adjoin!

Rumus Invers Matriks

$\Large A^{-1}=\frac{1}{Det A}Adj A$

Contoh Soal

Tentukan invers matriks berikut ini!

$\large A=\begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1&3 &-7 \\ 0&4 &-8 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

Determinan

$\large Det A=(-2\times3\times-8)+(4\times-7\times0)+(-5\times1\times4)-((-5\times3\times0)+(-2\times-7\times4)+(4\times1\times-8) \\ Det A =(48+0-20)-(0+56-32) \\ Det A =28-24=4$

Minor

Minor a = $\large \begin{bmatrix} 3&-7 \\ 4 &-8 \end{bmatrix}=(3)(-8)-(-7)(4)=4$

Minor b = $\large \begin{bmatrix} 1&-7 \\ 0 &-8 \end{bmatrix}=(1)(-8)-(-7)(0)=-8$

Minor c = $\large \begin{bmatrix} 1&3 \\ 0&4 \end{bmatrix}=(1)(4)-(3)(0)=4$

Minor d = $\large \begin{bmatrix} 4&-5 \\ 4 &-8 \end{bmatrix}=(4)(-8)-(-5)(4)=-12$

Minor e = $\large \begin{bmatrix} -2&-5 \\ 0 &-8 \end{bmatrix}=(-2)(-8)-(-5)(0)=16$

Minor f = $\large \begin{bmatrix} -2&4 \\ 0&4 \end{bmatrix}=(-2)(4)-(4)(0)=-8$

Minor g = $\large \begin{bmatrix} 4&-5 \\ 3 &-7 \end{bmatrix}=(4)(-7)-(-5)(3)=-13$

Minor h = $\large \begin{bmatrix} -2&-5 \\ 1 &-7 \end{bmatrix}=(-2)(-7)-(-5)(1)=19$

Minor i = $\large \begin{bmatrix} -2&4 \\ 1&3 \end{bmatrix}=(-2)(3)-(4)(1)=-10$

Minor A = $\large \begin{bmatrix} 4 &-8 &4 \\ -12 &16 &-8 \\ -13 &19 & 10\end{bmatrix}$

Kofaktor

Kofaktor A = $\large \begin{bmatrix} 4 & 8 &4 \\ 12& 16 &8 \\ -13 &-19 & -10 \end{bmatrix}$

Adjoin

Adj A = $\large \begin{bmatrix} 4 & 12 &-13 \\ 8& 16 &-19 \\ 4 &8 & -10 \end{bmatrix}$

Invers Matriks

$\large A^{-1}=\frac{1}{Det A}Adj A \\ A^{-1}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 4 & 12 &-13 \\ 8& 16 &-19 \\ 4 &8 & -10 \end{bmatrix} \\ A^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{4}{4} & \frac{12}{4} &\frac{-13}{4} \\ \frac{8}{4}& \frac{16}{4} &\frac{-19}{4} \\ \frac{4}{4} &\frac{8}{4} & \frac{-10}{4} \end{bmatrix} \\ A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 3 &\frac{-13}{4} \\ 2& 4 &\frac{-19}{4} \\ 1 &2 & \frac{-5}{2} \end{bmatrix}$

Matriks Operasi Elementer Baris

Syarat yang digunakan untuk Metode Operasi Elementer Baris

1. Menukar satu baris dengan baris lain

2. Mengalikan sebuah baris dengan bilangan bukan atau selain 0

3. Menjumlahkan kelipatan baris dengan baris asal

Langkah 1:

ubah elemen c dan f menjadi nol menggunakan kunci elemen i

Langkah 2:

Ubah eleme b menjadi nol dengan menggunakan kunci elemen e.

langkah 3:
Maka , determinan matriks adalah

0 Comments

Metode Crout dan Doolittle

Metode Crout
Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode crout adalah

Kasus n=3

Rumus perhitungannya adalah :

Contoh :

Metode Doolittle

Metode Doolittle berkebalikan dengan metode crout. Untuk L = segitiga bawah, dan untuk U = segitiga atas.

• Rumus umum untuk mencari L dan U dengan Metode Doolittle :

• Dengan ordo 3x3 :

Rumus perhitungannya:

0 Comments

DETERMINAN METODE CHIO

Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan semua bilangan real. Determinan matriks biasanya dinyatakan oleh atau . Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu metode Sarrus, Ekspansi Kofaktor, dan Kondensasi (Penyusutan) CHIO. Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo dengan .
Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo menjadi ordo dan dikalikan dengan elemen . Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo . Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen . Apabila nilai elemen maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh .

Menentukan determinan 3 x 3 dengan metode chio memiliki syarat :

contoh soal :

carilah determinan dari matriks berikut dengan metode chio