Sistem Bilangan Real

Sabtu, 07 Maret 2020

Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real merupakan materi yang sangat penting dalam mempelajari kalkulus dan aplikasinya. Oleh itu, sebelum mempelajari materi-materi lain dalam kalkulus dan aplikasinya, pembaca diharapkan telah memahami dan dapat menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada sistem bilangan real.

Diperhatikan beberapa simbol berikut:

$\mathbb{N}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan asli $\{1,2,3,...\}$ ,
$\mathbb{Z}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan bulat $\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ ,
$\mathbb{Q}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan rasional $\left\{\frac{a}{b}:a\in\mathbb{Z}\text{ dan } b\in\mathbb{N}\right\}$ ,
$\mathbb{R}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan real, dan
$\mathbb{C}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan kompleks $\{a+ib:a,b\in\mathbb{R}\}$ .

Diperhatikan bahwa tidak semua literatur menggunakan simbol-simbol ini. Dengan demikian, harap diperhatikan baik-baik dalam membaca literatur. Dalam website ini digunakan simbol-simbol tersebut untuk pembahasan-pembahasan sebelumnya.

Sifat Sistem Bilangan Real

Untuk sebarang bilangan real a,b,c

dan

diperoleh:

sifat komutatif, dan ,
sifat asosiatif, dan ,
sifat distributif, ,
jika $b\neq0$ ,
$\displaystyle{\frac{a}{b}=a\frac{1}{b}},$
jika $b,d\neq0$ ,
$\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}},$
jika $b,d\neq 0$ ,
$\displaystyle{\frac{a}{b}\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}},$
,
,
,
jika $a\neq0$ maka
$\displaystyle{\frac{0}{a}=0},$
nilai
$\displaystyle{\frac{a}{0}}$

tidak terdefinisikan,
jika $a\neq 0$ maka
$\displaystyle{\frac{a}{a}=1},$
hukum kanselasi, jika dan $c\neq 0$ maka , dan jika $b,c\neq 0$ maka
$\begin{equation*} \frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}, \end{equation*}$
sifat pembagi nol, jika maka atau .

Pada sistem bilangan real berlaku relasi urutan. Didefinisikan beberapa hal berikut.

Bilangan real dikatakan positif, jika .
Bilangan real dikatakan negatif, jika .
Bilangan real dikatakan nonnegatif, jika $a\geq 0$ .

Untuk setiap bilangan real a,b

dan

, diperoleh beberapa sifat urutan bilangan real berikut.

Jika $a\leq b$ maka $a+c\leq b+c$ , untuk setiap bilangan real .
Jika $a\leq b$ dan $b\leq c$ maka $a\leq c$ .
Jika $a\leq b$ dan maka $ac\leq bc$ . Dilain pihak, jika $a\leq b$ dan maka $ac\geq bc$ .
Jika maka $\frac{1}{a}>0$ . Lebih lanjut, jika $0<a\leq b$ maka $\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}$ .
Untuk setiap bilangan real dan berlaku tepat satu
$\begin{equation*} a<b,\text{ atau }a=b,\text{ atau }a<b. \end{equation*}$
Jika v maka
$\begin{equation*} a\leq b \Leftrightarrow a^{2}\leq b^{2} \Leftrightarrow \sqrt{a}\leq \sqrt{b}. \end{equation*}$