Archive for Maret 2020

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Pertidaksamaan ialah kalimat terbuka yang mneggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan mengandung variakel. Secara umum pertidaksamaan merupakan cara untuk menyatakan suatu selang atau interval. Tanda “<” dan “>” menyatakan selang terbuka dan pada garis bilangan digambarkan dengan noktah kosong( ).
Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan jenis pertidaksamaan yang mengandungnilai mutlak. Nilai mutlak menghitung jarak suatu angka dari 0—misal, x. mengukur jarak x dari nol.
Persamaan nilai mutlak merupakan sebuah persamaan yang selalu bernilai positif.Pertidaksamaan nilai mutlak ialah sebuah perbandingan ukuran dua objek atau lebih yang selalu bernilai positif.

Rumus Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real x ialah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan. Dan digambarkan dengan │x│. Secara formal nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut :

Pengantar Nilai Mutlak

Fungsi nilai mutlak merupakan fungsi yang kontinu. Jika kita gambarkan dalam bentuk grafik, gambar grafik fungsi nilai mutlak membentuk garis lurus, seperti membentuk huruf v pada interval tertentu.
Grafik yang dihasilkan memiliki satu buah titik puncak dan garisnya simetris, antara ruas kanan dan kiri.
Perhatikan gambar grafik nilai mutlak yang diberikan seperti gambar di bawah ini.

Dan seperti yang terlihat pada kasusu di atas bahwa nilai fungsi nilai mutlak selalu positif (di atas sumbu x).

Sifat-Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Untuk mengambil nilai mutlak dari persamaan nilai mutlak cukup mudah. Dengan mengikuti 2 aturan penting seperti yang telah dibahas sebelumnya sudah dapat menentukan nilai mutlaknya. Jadi, nilainya akan positif jika fungsi di dalam tanda mutlak lebih dari nol. Dan akan bernilai negatif kalau fungsi di dalam tanda mutlak kurang dari nol.
Dalam pertidaksamaan nilai mutlak tidak cukup dengan cara tersebut. Ada beberapa pertidaksamaan aljabar yang ekuivalen dengan pertidaksamaan nilai mutlak. Ataupun dapat disebut saja sebagai sifat pertidaksamaan nilai mutlak.
Sifat inilah yang dapat dipakai untuk menentukan himpunan penyelesaian pada soal-soal pertidaksamaan nilai mutlak yang diberikan.

Sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut :

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak, selain perlu mengetahui sifa-sifat yang telah diberikan di atas, kita juga perlu kemampuan untuk menguasai cara oprasi bentuk aljabar. Cara dasar dalam mengoperasikan suatu bilangan dan variabel.

0 Comments

SISTEM BILANGAN REAL

Sistem bilangan real merupakan materi yang sangat penting dalam mempelajari kalkulus dan aplikasinya. Karena itu kita harus memahami terlebih dahulu tentang bilangan real sebelum masuk ke materi – materi tentang kalkulus yang lainnya. Untuk memudahkan dalam memahami bilangan real coba perhatikan gambar berikut ini :

Berdasarkan gambar diatas dapat disimpulkan bahwa bilangan real terdiri dari Bilangan Rasional dan Bilangan Irrasional. Lalu apakah yang dimaksud dengan bilangan rasional dan bilangan irrasional ?

· Bilangan Rasional :

Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan (P/Q) Bilangan yang dapat ditulis sebagai desimal berulang. Contoh (1,3333333333)

· Bilangan Irrasional :

Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan desimal tidak berulang. Contoh (√3 = 1,732050807568877)

Pada sistem bilangan real berlaku relasi urutan. Didefinisikan beberapa hal berikut.

Ø Bilangan real a dikatakan positif, jika a>0.

Ø Bilangan real a dikatakan negatif, jika a<0.

Ø Bilangan real a dikatakan nonnegatif, jika a>=0.

· Garis Bilangan Real

Ø Bilangan real dinyatakan dengan notasi R.

Ø Bilangan-bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titk sepanjang sebuah garis bilangan real.

· Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu. Pertidaksamaan dinyatakan dengan salah satu tanda dari lambang berikut : > <= >= <.

Misalkan :

a<x<b

(dibaca : x lebih besar dari a dan lebih kecil dari b)

Kenapa demikian, karena jika bahasa latin dibaca mulai dari kiri, dan bahasa arab dibaca mulai dari kanan, maka kalkulus dibaca mulai dari x.

Mungkin pembahasan tentang kalkulus khususnya tentang bilangan real dicukupkan sampai disini. dan mungkin akan dilanjut pada postingan berikutnya. Terimakasih

0 Comments

Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real merupakan materi yang sangat penting dalam mempelajari kalkulus dan aplikasinya. Oleh itu, sebelum mempelajari materi-materi lain dalam kalkulus dan aplikasinya, pembaca diharapkan telah memahami dan dapat menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada sistem bilangan real.

Diperhatikan beberapa simbol berikut:

$\mathbb{N}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan asli $\{1,2,3,...\}$ ,
$\mathbb{Z}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan bulat $\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ ,
$\mathbb{Q}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan rasional $\left\{\frac{a}{b}:a\in\mathbb{Z}\text{ dan } b\in\mathbb{N}\right\}$ ,
$\mathbb{R}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan real, dan
$\mathbb{C}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan kompleks $\{a+ib:a,b\in\mathbb{R}\}$ .

Diperhatikan bahwa tidak semua literatur menggunakan simbol-simbol ini. Dengan demikian, harap diperhatikan baik-baik dalam membaca literatur. Dalam website ini digunakan simbol-simbol tersebut untuk pembahasan-pembahasan sebelumnya.

Sifat Sistem Bilangan Real

Untuk sebarang bilangan real a,b,c

dan

diperoleh:

sifat komutatif, dan ,
sifat asosiatif, dan ,
sifat distributif, ,
jika $b\neq0$ ,
$\displaystyle{\frac{a}{b}=a\frac{1}{b}},$
jika $b,d\neq0$ ,
$\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}},$
jika $b,d\neq 0$ ,
$\displaystyle{\frac{a}{b}\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}},$
,
,
,
jika $a\neq0$ maka
$\displaystyle{\frac{0}{a}=0},$
nilai
$\displaystyle{\frac{a}{0}}$

tidak terdefinisikan,
jika $a\neq 0$ maka
$\displaystyle{\frac{a}{a}=1},$
hukum kanselasi, jika dan $c\neq 0$ maka , dan jika $b,c\neq 0$ maka
$\begin{equation*} \frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}, \end{equation*}$
sifat pembagi nol, jika maka atau .

Pada sistem bilangan real berlaku relasi urutan. Didefinisikan beberapa hal berikut.

Bilangan real dikatakan positif, jika .
Bilangan real dikatakan negatif, jika .
Bilangan real dikatakan nonnegatif, jika $a\geq 0$ .

Untuk setiap bilangan real a,b

dan

, diperoleh beberapa sifat urutan bilangan real berikut.

Jika $a\leq b$ maka $a+c\leq b+c$ , untuk setiap bilangan real .
Jika $a\leq b$ dan $b\leq c$ maka $a\leq c$ .
Jika $a\leq b$ dan maka $ac\leq bc$ . Dilain pihak, jika $a\leq b$ dan maka $ac\geq bc$ .
Jika maka $\frac{1}{a}>0$ . Lebih lanjut, jika $0<a\leq b$ maka $\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}$ .
Untuk setiap bilangan real dan berlaku tepat satu
$\begin{equation*} a<b,\text{ atau }a=b,\text{ atau }a<b. \end{equation*}$
Jika v maka
$\begin{equation*} a\leq b \Leftrightarrow a^{2}\leq b^{2} \Leftrightarrow \sqrt{a}\leq \sqrt{b}. \end{equation*}$